Решила написать продолжение истории, вдруг кому-то будет полезно.
В 2018 году мы закончили курс в Центре патологии речи на Таганке и наша проблема ушла!
К сожалению, уже не помню, когда именно повторение слогов завершилось. Сейчас сын учится во 2 классе, заикания нет.
Интересно, что у среднего ребёнка возникает похожий эффект, когда он задумывается, что сказать дальше. Может повторять последний слог, пока головушка соображает над следующим словом. Но у него это гораздо мягче и возникает исключительно в ситуации раздумывания.
Спасибо, Людмила Николаевна, за поддержку!