Здравствуйте!
Похоже на остаточный кашель после ОРВИ, который может длиться 2-8 недель. Если самочувствие сильно не страдает, достаточно соблюдения температурно-влажностного режима, проветривания, прогулок на свежем воздухе.
Кашель:
https://forums.rusmedserv.com/showthread.php?t=28678
По прививке: если остаточный кашель без других симптомов, самочувствие нормальное - осмотр доктора, и можно делать, окончательное решение за ним.