[ОльгаШа]

К аллергологу или пульмонологу, без разницы.

При диагностику астму у детей до 5 лет - в первый ссылке. как видите, она в первую очередь требует исключения других заболеваний, сопровождающихся кашлем. Что и как исключать - определит очный врач.

Физические упражнения в разумном объеме разрешены и показаны.
То, что кашляет - не хорошо, это можно расценивать как один из симптомов гиперреактивности бронхов