Температера 36.8-37.8

[SvetlanaZV]

Добрый день.

Мальчик 2.10, рост 100, вес 13.5 кг, развитие по возрасту, хр. заболеваний нет никаких. Неделю назад в пятницу после сада начался насморк, поднялась температура до 37,5. И уже в течение недели держится от 36.8 до 37.8. Температуру не сбивали ни разу, обильное питье, нос сморкает сам, брызгать не дает, аппетит и самочувствие не страдало и не страдает, активный, играет, бегает, спит хорошо. Сопли за неделю были от жидких прозрачных, до густых зелёных, сейчас почти прошли, иногда влажный кашель. Педиатр смотрел: лёгкие чистые, горло покрасневшее. Больше ничего не обнаружил. Но температура так и держится, ребёнок явно горячий, обычно в норме температура у него до 36.6.
1. Может ли так долго протекает вирусное заболевание?
2. Педиатр считает, что 8ой день температуры свительствует о вялотекущей инфекции и пора подключать антибиотик. Прав ли врач?
3. Стоит ли сдать какие то анализы?

Спасибо.